Question

已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為e＝，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)．

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)若P與A，B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁·k₂為定值；

(Ⅲ)M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，若＝λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由題意可得圓的方程為， 　　∵直線與圓相切，∴，即，又，即，，解得，， 　　所以橢圓方程為；3分 　　(Ⅱ)設(shè)，，，則，即，則，， 　　即， 　　∴為定值．6分 　　(Ⅲ)設(shè)，其中． 　　由已知及點(diǎn)在橢圓上可得， 　　整理得，其中．8分 　　①當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得， 　　所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；9分 　　②當(dāng)時(shí)，方程變形為，其中， 　　當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分；11分 　　當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；12分 　　當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓．13分