Question

在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C及其對(duì)邊a、b、c，滿足a²-b²=

3

bc，sinC=

3

sinB
（Ⅰ）求角C的大小
（Ⅱ）若c=6，求△ABC面積．

Answer 1

分析：（I）由根據(jù)正弦定理結(jié)合sinC=

3

sinB，得c=

3

b，代入a²-b²=

3

bc算出a=2b，從而得到△ABC是以a為斜邊的直角三角形，利用特殊三角函數(shù)值可得角C的大�。�
（II）由（I）得若c=6，則Rt△ABC的兩條直角邊分別為6和2

3

，即可得到△ABC面積．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，sinC=

3

sinB，∴根據(jù)正弦定理，得c=

3

b
又∵a²-b²=

3

bc，∴a²-b²=3b²，解之得a=2b
∴△ABC中，a：b：c=2：1：

3

，可得a²=b²+c²
△ABC是以a為斜邊的直角三角形，
∵sinC=

c

a

=

3

2

，∴C=60°   …（5分）
（Ⅱ）由（I）得a：b：c=2：1：

3

，
∴根據(jù)c=6，得b=2

3

∴Rt△ABC面積S=

1

2

bc=

1

2

×6×2

3

=6

3

…（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出△ABC中的邊的關(guān)系和角的關(guān)系式，求角C的大小并依此求三角形面積，著重考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形面積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．