Question

已知f（x）=．
（1）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）的解析式及其定義域；
（2）判斷函數(shù)f^-1（x）在其定義域上的單調(diào)性并加以證明；
（3）若當(dāng)時，不等式恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將x，y互換，解得y即可．
（2）用單調(diào)性定義證明，先任取兩變量，界定大小，再作差變形看符號．
（3）將反函數(shù)代入，整理為不等式恒成立求解，注意討論．
解答：解：（1）令y=x，則有x=
解得：；（4分）
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則
==
由0＜x₁＜x₂＜1，有所以f^-1（x₁）-f^-1（x₂）＜0，即函數(shù)f^-1（x）在其定義域上的單調(diào)遞增．（8分）
（3）當(dāng)時，不等式恒成立，
即不等式恒成立
當(dāng)1+a＞0即a＞-1時，原命題等價于恒成立，由
所以，從而得
當(dāng)1+a=0即a=-1時，不等式不成立
當(dāng)1+a＜0即a＜-1時，原命題等價于恒成立，
由所以，又a＜-1，所以a不存在．綜上可得：．（12分）
點評：本題主要考查如何求函數(shù)的反函數(shù)，單調(diào)性定義證明及不等式恒成立問題．