Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點F₁，F₂在x軸上，離心率，且經過點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l經過橢圓C的右焦點F₂，且
與橢圓C交于A，B兩點，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差數列，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設橢圓C的方程根據離心率和點M求得a和b，進而可得答案．
（2）設直線l的方程為，代入（1）中所求的橢圓C的方程，消去y，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而可得到x₁+x₂和x₁•x₂的表達式，根據F₁A|+|BF₁|=2|AB|求得k，再判斷直線l⊥x軸時，直線方程不符合題意．最后可得答案．
解答：解：（1）設橢圓C的方程為，（其中a＞b＞0）
由題意得，且，解得a²=4，b²=2，c²=2，
所以橢圓C的方程為．
（2）設直線l的方程為，代入橢圓C的方程，
化簡得，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，
由于|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差數列，則|F₁A|+|BF₁|=2|AB|．
而|F₁A|+|AB|+|BF₁|=4a=8，所以.=，解得k=±1；
當直線l⊥x軸時，，代入得y=±1，|AB|=2，不合題意．
所以，直線l的方程為．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與其他曲線的關系．要求學生綜合掌握如直線、橢圓、拋物線等圓錐曲線的基本性質．