Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，短軸兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓上一點，為橢圓長軸上一點，求的最大值與最小值；

（3）設是橢圓外的動點，滿足，點是線段與該橢圓的交點，點在線段上，并且滿足，，求點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當時，，當時．（Ⅲ）

【解析】試題分析：（1）運用正方形的性質(zhì)可得 ，求得，進而得到橢圓方程；（2）設 是橢圓上一點，則 ，運用兩點的距離公式和二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最值；

（3）通過連接 ，連接 利用橢圓定義可知 進而為線段的中點，利用三角形中位線定理可知 ，進而可得軌跡方程．

試題解析：（Ⅰ）由題意得

所以橢圓的方程為：．

（Ⅱ）設，因為是橢圓上一點，所以

．

因為

所以當時，，

當時．

（Ⅲ）設點的坐標為

當時，點和點 在軌跡上．

當且時，由，得．

又，

所以，所以為線段的中點．

在中，，所以有

綜上所述，點的軌跡方程為