Question

如圖是一個數表，第一行依次寫著從小到大的正整數，然后把每行的相鄰兩個數的和寫在這兩數的正中間的下方得到下一行，數表從左到右、從上到下無限．則2000在表中出現

4

次．

Answer 1

分析：由數表推得，每一行都是等差數列，第n行的公差為2^n-1，記第n行的第m個數為f（n，m），則f（n，1）=f（n-1，1）+f（n-1，2）依此類推算得f（n，1）=（n+1）•2^n-2從而得到f（n，m）=f（n，1）+（m-1）•2^n-1最后令2^n-2（2m+n-1）=2000=2⁴×5³，驗證當n=1，3，5，6時符合，最后得出答案．

解答：解：由數表推得，每一行都是等差數列，第n行的公差為2^n-1，
記第n行的第m個數為f（n，m），則f（n，1）=f（n-1，1）+f（n-1，2）
=2f(n-1，1)+2n-2⇒

f(n，1)

2n

=

f(n-1，1)

2n-1

+

1

4

算得f（n，1）=（n+1）•2^n-2
⇒f（n，m）=f（n，1）+（m-1）•2^n-1
=2^n-2（2m+n-1）（n∈N₊）
令2^n-2（2m+n-1）=2000=2⁴×5³，
驗證當n=1，3，5，6時符合．
則2000在表中出現 4次．
故答案為4．

點評：本小題主要考查歸納推理、等差數列、數列的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．