Question

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內，SO的長為3，O到AB，AD的距離分別為2和1，P是SC的中點．
（Ⅰ）求證：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設Q是棱SA上的一點，若=，求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據題意，可得S0⊥底面ABCD，結合SO?平面SOB，利用面面垂直判定定理，得平面SOB⊥底面ABCD；
（II）以0為原點，分別以垂直AB、BC的直線為x軸和y軸，0S所在直線為z軸建立空間直角坐標．算出A、B、C、S、P各點的坐標，從而由=得到Q的坐標，可得、的坐標，利用垂直向量數量積為0的方法，建立方程組解出=（1，3，5）是平面PQB的一個法向量，結合=（0，0，-3）是平面ABCD的一個法向量，利用空間向量的夾角公式算出cos＜，＞==-，即可得到平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小．
解答：解：（Ⅰ）∵0是頂點S在底面上ABCD的射影，
∴S0⊥底面ABCD，
又∵SO?平面SOB，
∴平面SOB⊥底面ABCD…（3分）
（Ⅱ）如圖，以0為原點，以垂直AB的直線為x軸，垂直BC的直線為y軸，
0S所在的直線為z軸建立空間直角坐標系0-xyz．
由正方形ABCD邊長為4，且0到AB、AD的距離分別為2、1，
得A（2，-1，0），B（2，3，0），C（-2，3，0），
S（0，0，3），P（-1，，）
∴=，可得Q（，-，），
=（，-，），=（3，，-）
∵=（0，0，-3）是平面ABCD的一個法向量，
設=（x，y，z）是平面PQB的一個法向量，
由，取x=1得y=3，z=5
∴=（1，3，5），
可得cos＜，＞==- 
因此，平面PBQ與底面ABCD所成的銳二面角的余弦值的大小為 …（8分）
點評：本題在四棱錐中求證面面垂直，并求平面與平面所成的二面角的大小．著重考查了四棱錐的性質、面面垂直判定定理和利用空間向量研究面面所成角等方法等知識，屬于中檔題．