Question

20．已知函數y=（a²-1）x²+（a-1）x+3（x∈R），寫出y＞0的充要條件a≥1或a＜-$\frac{13}{11}$．

Answer 1

分析 根據不等式的性質結合充要條件的定義進行求解即可．

解答 解：若y=（a²-1）x²+（a-1）x+3＞0，
則當a²-1=0，即a=1或a=-1，
當a=1時，不等式等價為3＞0，滿足條件．
當a=-1時，不等式等價為-2x+3＞0，x＜$\frac{3}{2}$，不滿足條件．
當a≠±1時，
要使y＞0，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△=（a-1）^{2}-12（{a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜-1}\\{11{a}^{2}+2a-13＞0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜1}\\{a＞1或a＜-\frac{13}{11}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜-1}\\{a＞1或a＜-\frac{13}{11}}\end{array}\right.$，得a＞1或a＜-$\frac{13}{11}$，
綜上a≥1或a＜-$\frac{13}{11}$，
反之也成立，
故答案為：a≥1或a＜-$\frac{13}{11}$

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的應用，根據一元二次不等式的性質是解決本題的關鍵．注意要對系數 進行討論．