Question

已知{a_n}是首項為a₁=1的等差數列且滿足a_n+1＞a_n（n∈N^*），等比數列{b_n}的前三項分別為b₁=a₁+1，b₂=a₂+1，b₃=a₃+3．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{c_n}滿足（a_n+3）c_nlog₂b_n=

1

2

，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，由通項公式分別把b₁、b₂、b₃表示出來，再由等比中項列出方程，求出d的值，再由數列{a_n}為單調遞增數列進行取舍，再求出公比q，分別代入對應的通項公式化簡即可；
（Ⅱ）由（I）和條件求出c_n并裂項，代入數列{c_n}的前n項和S_n進行化簡．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，
首項a₁=1，b₁=2，b₂=2+d，b₃=4+2d，
∵{b_n}為等比數列，∴

b

2 2

=b1b3，
即（2+d）²=2（4+2d），解得d=±2，
又∵a_n+1＞a_n，即數列{a_n}為單調遞增數列，
∴d=2，a₂=3，a₃=5，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
則b₁=2，b₂=4，q=2，
∴bn=b1qn-1=2n，
∴a_n=2n-1，bn=2n，
（Ⅱ）由題意得，(an+3)cnlog2bn=

1

2

，再由（1）結果代入，
變形得cn=

1

2(an+3)log2bn

=

1

2n(2n+2)

=

1

2

(

1

2n

-

1

2n+2

)，
∴S_n=

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+

1

2

(

1

6

-

1

8

)+…+

1

2

(

1

2n

-

1

2n+2

)
=

1

2

(

1

2

-

1

2n+2

)=

n

4(n+1)

．

點評：本題考查了等差（等比）數列的通項公式，以及前n項和公式，裂項相消法求數列的前n項和等，數列求和問題應先求通項公式，根據其特點再選取對應的求和方法．