Question

設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為2．
（I）求雙曲線的漸近線方程；
（II）過點(diǎn)N（1，0）能否作出直線l，使l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，且，若存在，求出直線方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）直接利用離心率為2以及b²=3求出a即可得雙曲線的漸近線方程；
（II）先討論得出直線斜率不存在時(shí)不適合題意，進(jìn)而設(shè)直線l方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線方程與雙曲線方程得P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)與k之間的關(guān)系，再結(jié)合即可求出k的范圍進(jìn)而得出結(jié)論．
解答：解：（I）∵
∴a²=1
∴雙曲線漸近線方程為
（Ⅱ）假設(shè)過點(diǎn)N（1，0）能作出直線l，使l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，
且
若過點(diǎn)N（1，0）的直線斜率不存在，則不適合題意，舍去．
設(shè)直線l方程為y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴
①代入②得：（3k²-1）x²-6k²x+3k²-3=0
∴
∵
∴y₁y₂+x₁x₂=0
∴（k²+1）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=0
∴
∴k²=-3不合題意．
∴不存在這樣的直線．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．本題第二問的易錯(cuò)點(diǎn)在于忘記討論直線斜率不存在的情況，從而得分不全．