Question

已知f(x)=(

x-1

x+1

)2(x≥1)
（Ⅰ）求f（x）的反函數f^-1（x）；
（Ⅱ）設g(x)=

1

f-1(x)

+

x

+2，求g（x）的最小值及相應的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由反函數的定義，先將x用y表示出來，再交換x與y的位置即可得到函數的反函數，注意寫出反函數的定義域；
（II）由于g(x)=

1

f-1(x)

+

x

+2可化為g（x）=(1+

x

)+

2

1+ x

，出現了積為定值，且等號成立的條件具備，故用基本不等式求出最小值及相應的x的值

解答：解：（I）f(x)=(

x-1

x+1

)2即y=(1-

2

x+1

)2
∵x≥1
∴0≤y＜1

x-1

x+1

=

y

∴x=

1+ y

1- y

∴f-1(x)=

1+ x

1- x

(0≤x＜1)
（II）g(x)=

1- x

1+ x

+

x

+2(0≤x＜1)=

(1+ x )2+2

1+ x

=(1+

x

)+

2

1+ x

≥2

2

當且僅當1+

x

=

2

1+ x

，即x=3-2

2

∈[0， 1)時取等號．
∴當x=3-2

2

 時，g(x)min=2

2

．

點評：本題考查反函數，解答本題，關鍵是熟練掌握反函數的定義以及求反函數的步驟，先用y表示x，再交換x與y的位置得出反函數的解析式，本題有一個易漏點，即忘記求出反函數的定義域．