Question

△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且2sin2

A+B

2

+cos2C=1
（1）求角的C大小；
（2）若向量

m

=(3a，b)，向量

n

=(a，-

b

3

)，

m

⊥

n

，(

m

+

n

)(-

m

+

n

)=-16，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：（1）由條件利用二倍角公式及誘導公式求出cosC的值，根據C的范圍求出C的值．
（2）由

m

⊥

n

 得到b²=9a² ①，由（

m

+

n

）•（

m

-

n

）=-16可得a2+

b2

9

=2 ②，由①②可得a=1，b=3，
再由余弦定理求出邊c的值．

解答：解：（1）∵2sin2

A+B

2

+cos2C=1，
∴cos2C=1-2sin2

A+B

2

=cos(A+B)=-cosC，…（2分）
∴2cos²C+cosC-1=0，∴cosC=

1

2

或-1．∵C∈（0，π），∴C=

π

3

．…（4分）
（2）∵

m

⊥

n

，∴3a2-

b2

3

=0，即b²=9a² ①．
又（

m

+

n

）•（

m

-

n

）=-16，∴-8a2-

8

9

b2=-16，即a2+

b2

9

=2，②…（6分）
由①②可得a²=1，b²=9，∴a=1，b=3…（8分）
又c²=a²+b²-2abcosC=7，∴c=

7

．

點評：本題主要考查余弦定理的應用，二倍角公式，誘導公式，兩個向量垂直的性質，兩個向量的數量積公式的應用，
根據三角函數的值求角的值，屬于中檔題．