Question

已知數列{a_n}滿足S_n＋a_n＝2n＋1,  (1) 寫出a₁, a₂, a₃,并推測a_n的表達式；
(2) 用數學歸納法證明所得的結論。

Answer 1

(1) a₁＝, a₂＝, a₃＝,          
猜測 a_n＝2－                   
(2)證明： ①由（1）已得當n＝1時，命題成立；        
②假設n＝k時,命題成立，即 a_k＝2－,      
當n＝k＋1時, a₁＋a₂＋……＋a_k＋a_k＋1＋a_k＋1＝2(k＋1)＋1,
且a₁＋a₂＋……＋a_k＝2k＋1－a_k
∴2k＋1－a_k＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2a_k＋1＝2＋2－,  a_k＋1＝2－,     即當n＝k＋1時,命題成立.  
綜合(1),(2)可知：對于任意正整數n,都有 

略