Question

已知關于x的函數f(x)＝＋bx²＋cx＋bc,其導函數為f⁺(x).令g(x)＝f⁺(x) ,記函數g(x)在區間[-1、1]上的最大值為M.

   (Ⅰ)如果函數f(x)在x＝1處有極值-，試確定b、c的值：

  （Ⅱ）若b>1,證明對任意的c,都有M>2   

   (Ⅲ)若MK對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。

Answer 1

（I）解析：，由在處有極值

可得

解得或

若，則，此時沒有極值；

若，則

 

當變化時，，的變化情況如下表：

				1
		0	+	0
		極小值		極大值

當時，有極大值，故，即為所求。

（Ⅱ）證法1：

當時，函數的對稱軸位于區間之外。

在上的最值在兩端點處取得

故應是和中較大的一個

即

證法2（反證法）：因為，所以函數的對稱軸位于區間之外，

在上的最值在兩端點處取得。

故應是和中較大的一個

假設，則

  

將上述兩式相加得：

，導致矛盾，

（Ⅲ）解法1：

（1）當時，由（Ⅱ）可知；

（2）當時，函數）的對稱軸位于區間內，    

此時

由有

①若則，

于是

②若，則

于是

綜上，對任意的、都有

而當時，在區間上的最大值

故對任意的、恒成立的的最大值為。

解法2：

（1）當時，由（Ⅱ）可知；    

（2）當時，函數的對稱軸位于區間內，

此時

  

，即

下同解法1