Question

如圖，正三棱柱所有棱長(zhǎng)都是2，D棱AC的中點(diǎn)，E是棱的中點(diǎn)，AE交于點(diǎn)H.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

(1)參考解析；(2) ；(3)

試題分析：(1)由正三棱柱，可得平面ACB⊥平面.又DB⊥AC.所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系.分別點(diǎn)A,E,B,D, 的坐標(biāo)，得出相應(yīng)的向量.即可得到向量AE與向量BD，向量的數(shù)量積為零.即可得直線平面.

(2)由平面,平面分別求出這兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)法向量的夾角得到二面角的余弦值（根據(jù)圖形取銳角）.
(3)點(diǎn)到平面的距離，轉(zhuǎn)化為直線與法向量的關(guān)系，再通過(guò)解三角形的知識(shí)即可得點(diǎn)到平面的距離.本小題關(guān)鍵是應(yīng)用解三角形的知識(shí).
試題解析：（1）證明：建立如圖所示，
  ∵ 
∴     即AE⊥A₁D，  AE⊥BD
∴AE⊥面A₁BD
（2）由 ∴取
設(shè)面AA₁B的法向量為  ，
由圖可知二面角D—BA₁—A的余弦值為  
（3），平面A₁BD的法向量取
則B₁到平面A₁BD的距離d=