Question

已知等比數列{x_n}的各項為不等于1的正數，數列{y_n}滿足=2(a>0，且a≠1)，設y₃="18," y₆=12.
（1）數列{y_n}的前多少項和最大，最大值為多少？
（2）試判斷是否存在自然數M，使得當n>M時，x_n>1恒成立，若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由；
（3）令試比較的大小.

Answer 1

（1）由題意知{x_n}為等比數列，且x_n>0，又y_n=2log_ax_n，則y_n+1-y_n=2log_ax_n+1-2log_ax_n=2log_a, …………………………………………….3分
∵{x_n}為等比數列，則為常數，∴y_n+1-y_n為常數，∴{y_n­}為等差數列，設公差為d.則y₆-y₃=3d="12-18=-6." ∴d=-2. …………………………………………………5分
∴y_n=y₃+(n-3)×d=18+(n-3)×(-2)=24-2n, ∴y₁=22,
S_n=，顯然n=11或n=12時，S_n取得最大值，且最大值為132. ………………………………………………………7分
（2）∵y_n­=24-2n=2log_ax_n, ∴x_n=a^12-n，又x_n>1，即a^12-n>1.當a>1時，12-n>0，即n<12.當0<a<1時，12-n<0，即n>12.∴當0<a<1時，存在M=12時，當n>M時x_n>1恒成立. ……………………………………………………11分
（3）=, ∵在(13, +∞)上為減函數，∴ ……………………………………………14分

略