Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=x²-1．
（1）求函數h（x）=f（x）-

1

2

g（x）的最值；
（2）對于一切正數x，恒有f（x）≤k（x²-1）成立，求實數k的取值組成的集合．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定函數的單調性，從而可求函數h（x）最大值；
（2）構造函數F（x）=lnx-k（x²-1），對于一切正數x，恒有f（x）≤k（x²-1）成立，等價于F（x）≤0恒成立．求導函數，再進行分類討論，即可確定實數k的取值組成的集合．

解答：解：（1）h(x)=lnx-

1

2

(x2-1)，(x＞0)
求導函數可得h′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

，(x＞0)，所以函數h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．
所以h（x）的最大值為h（1）=0．…．（3分）
（2）令函數F（x）=lnx-k（x²-1）得F′(x)=

1

x

-2kx=

1-2kx2

x

當k≤0時，F′（x）＞0恒成立，所以F（x）在（0，+∞）遞增，
故x＞1時，F（x）＞F（0）=0不滿足題意．…．（5分）
當k＞0時，當x∈(0，

1 2k

)時，F′（x）＞0恒成立，函數F（x）遞增；
當x∈(

1 2k

，+∞)時，F′（x）＜0恒成立，函數F（x）遞減．
所以F(x)≤F(

1 2k

)=ln(

1 2k )

-

1

2

+k；即 F（x）的最大值F(

1 2k

)≤0…．（8分）
令t=

1 2k

，則k=

1

2t2

，(t＞0)．
令函數H(t)=lnt+

1

2t2

-

1

2

，H/(t)=

1

t

-

1

t3

=

t2-1

t3

所以當t∈（0，1）時，函數H（t）遞減；當t∈（1，+∞）時，函數H（x）遞增；
所以函數H（t）≥H（1）=0，
從而F(

1 2k

)=H(t)≥0，∴F(

1 2k

)=H(t)=0…（11分）
就必須當t=

1 2k

=1，即k=

1

2

時成立．
綜上k∈{

1

2

}．…．（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查構造函數法解決不等式恒成立問題，解題的關鍵是構造函數，確定函數的最值．