已知
、
為橢圓
的左、右焦點，且點
在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過
的直線
交橢圓于
兩點，則
的內切圓的面積是否存在最大值？
若存在其最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.
（1）
；（2）當
不存在時圓面積最大， 
，此時直線方程為
.
解析試題分析：本題考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面內兩點間的距離公式、三角形面積公式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質以及數形結合的數學思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先設出橢圓的標準方程，利用橢圓的定義列出
，解出
和
的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，假設直線的斜率存在，設出直線方程與橢圓方程聯立，消參得出關于
的方程，得到兩根之和、兩根之積，求出
的面積，面積之和內切圓的半徑有關，所以當的面積最大時，內切圓面積最大，換一種形式求的面積
，利用換元法和配方法求出面積的最大值，而直線的斜率不存在時，易求出
和圓面積，經過比較，當不存在時圓面積最大.
試題解析：（Ⅰ）由已知，可設橢圓的方程為
，
因為
，所以
，
，
所以，橢圓的方程為 4分
（也可用待定系數法
，或用
）
（2）當直線斜率存在時，設直線：
，由
得
，
設
，
，
6分
所以
，
設內切圓半徑為，因為的周長為
（定值），
，
所以當的面積最大時，內切圓面積最大，又
， 8分
令
，則
，所以
10分
又當不存在時，
，此時
，
故當不存在時圓面積最大， ，此時直線方程為. 12分
（也可以設直線
，避免對的討論，參照以上解法，按相應步驟給分）
考點：1.橢圓的標準方程；2.直線的方程；3.韋達定理；4.三角形面積公式；5.配方法求函數的最值.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系中，已知點
，點
在直線
：
上運動，過點與垂直的直線和線段
的垂直平分線相交于點
．
(1)求動點的軌跡
的方程；
(2)過(1)中的軌跡上的定點
作兩條直線分別與軌跡相交于
，
兩點．試探究：當直線
，
的斜率存在且傾斜角互補時，直線
的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知曲線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
，曲線、相交于
、
兩點.（
）
（Ⅰ）求、兩點的極坐標；
（Ⅱ）曲線與直線
（
為參數）分別相交于
兩點，求線段
的長度.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左、右焦點分別為
，且
，長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點．
(1)求橢圓方程；
(2)設橢圓與直線
相交于不同的兩點M、N，又點
，當
時，求實數m的取值范圍，
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，設F(－c,0)是橢圓
的左焦點，直線l：x＝－
與x軸交于P點，MN為橢圓的長軸，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點P的直線m與橢圓相交于不同的兩點A,B。
①證明：∠AFM＝∠BFN；
②求△ABF面積的最大值。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知點
，
，直線AG，BG相交于點G，且它們的斜率之積是
．
（Ⅰ）求點G的軌跡
的方程；
（Ⅱ）圓
上有一個動點P，且P在x軸的上方，點
，直線PA交（Ⅰ）中的軌跡于D，連接PB，CD．設直線PB，CD的斜率存在且分別為
，
，若
，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）已知
的兩頂點坐標
，
，圓
是的內切圓，在邊
，
，
上的切點分別為
，
（從圓外一點到圓的兩條切線段長相等），動點
的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）設直線與曲線的另一交點為
，當點
在以線段
為直徑的圓上時，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
，且經過點
，直線
交橢圓于不同的兩點A，B.
（Ⅰ）求橢圓的方程;
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線
不過點M，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的中心在原點，焦點在
軸上，焦距為2，離心率為
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線
經過點
（0,1），且與橢圓C交于
兩點，若
，求直線的方程.
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