Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的A₁C₁面上有一點P（如圖所示，其中P點不在對角線B₁D₁上）．
（1）過P點在空間作一直線l，使l∥直線BD，應該如何作圖？并說明理由；
（2）過P點在平面A₁C₁內作一直線m，使m與直線BD成α角，其中α∈（0，]，這樣的直線有幾條，應該如何作圖？

Answer 1

【答案】分析：（1）在平面A₁C₁內過P作直線l，使l∥B₁D₁，則l∥直線BD．
（2）在平面A₁C₁內作直線m，使直線m與B₁D₁相交成α角，則由 B₁D₁∥BD知，m與BD所成的角也是α，α=時，這樣的直線m有且只有一條，當α≠時，這樣的直線m有兩條．
解答：解：（1）連接B₁D₁，在平面A₁C₁內過P作直線l，使l∥B₁D₁，則l即為所求作的直線．
∵B₁D₁∥BD，l∥B₁D₁，∴l∥直線BD；
（2）在平面A₁C₁內作直線m，使直線m與B₁D₁相交成α角，
∵BD∥B₁D₁，∴直線m與直線BD也成α角，即直線m為所求作的直線．
由圖知m與BD是異面直線，且m與BD所成的角α∈（0，]．
當α=時，這樣的直線m有且只有一條，當α≠時，這樣的直線m有兩條．
點評：本題考查直線與平面平行的性質，以及異面直線所成的角的定義，體現了數形結合的數學思想．