Question

函數f（x）=2cos²x+sin2x-1，給出下列四個命題：
①函數在區間上是減函數；
②直線是函數圖象的一條對稱軸；
③函數f（x）的圖象可由函數的圖象向左平移個單位長度而得到；
④若，則f（x）的值域是．
其中所有正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：化簡函數為同角同名函數，利用2cos²x-1=cos2x，sin2x+cos2x=）=sin（2x+）．再利用正弦函數的性質，對稱軸方程x=kπ+，k∈z；遞減區間為[2kπ+，2kπ+]，k∈z，及函數圖象的變化規律解決．
解答：解：首先對函數進行化簡，f（x）=2cos²x+sin2x-1=sin2x+cos2x=（sin2xcos+cos2xsin）=sin（2x+）．
對①，令2x+=kπ+，得對稱軸方程x=+，k∈z，∴②正確；
對①，令2kπ+＜2x+＜2kπ+，得 kπ+＜x＜kπ+，k∈z．函數的遞減區間為[kπ+，kπ+]，k∈z，∴①√；
對③，平移的單位應是，∴③×．
對④，當x∈[0，]時f（x）單調遞增，當x∈[，]時單調遞減，f（）=，f（）=-1∴值域是[-1，]，∴④√．
故答案是①②④
點評：牢記三角函數的性質及圖象變化規律，利用整體代入求解復合函數的對稱軸、單調區間、值域是本題的關鍵．