Question

已知函數R），g（x）=lnx．
（1）求函數F（x）=f（x）+g（x）的單調區間；
（2）若關于x的方程（e為自然對數的底數）只有一個實數根，求a的值．

Answer 1

（1）解：函數的定義域為（0，+∞）．
∴=．
①當△=1+4a≤0，即時，得x²+x-a≥0，則F′（x）≥0．
∴函數F（x）在（0，+∞）上單調遞增．（2分）
②當△=1+4a＞0，即時，令F′（x）=0，得x²+x-a=0，
解得．
（ⅰ）若，則．
∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＞0，
∴函數F（x）在（0，+∞）上單調遞增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，則時，F′（x）＜0；時，F′（x）＞0，
∴函數F（x）在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．
綜上所述，當a≤0時，函數F（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；
當a＞0時，函數F（x）的單調遞減區間為，
單調遞增區間為．（8分）
（2）解：由，得，化為．
令，則．
令h′（x）=0，得x=e．
當0＜x＜e時，h′（x）＞0；當x＞e時，h′（x）＜0．
∴函數h（x）在區間（0，e）上單調遞增，在區間（e，+∞）上單調遞減．
∴當x=e時，函數h（x）取得最大值，其值為．（10分）
而函數m（x）=x²-2ex+a=（x-e）²+a-e²，
當x=e時，函數m（x）取得最小值，其值為m（e）=a-e²．（12分）
∴當，即時，方程只有一個根．（14分）
分析：（1）先求出求函數F（x）=f（x）+g（x）的導函數，分情況求出導數為0的根進而求出函數的單調區間（注意是在定義域內求單調區間）；
（2）先把問題轉化為只有一個實數根；再利用導函數分別求出等號兩端的極值，在下面畫出草圖，結合草圖即可求出結論．
點評：本題第一問考查利用導數研究函數的單調性．利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區間、極值、最值問題，是函數這一章最基本的知識，也是．教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．