Question

如圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上，DE⊥AB

于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））．

（Ⅰ）求證：PB⊥DE；

（Ⅱ）若PE⊥BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長．

Answer 1

（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，

∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，

又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；                    

（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，

∴分別以DE、BE、PE所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

設(shè)PE=a，則B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），

P（0，0，a），…（7分）

可得，，

設(shè)面PBC的法向量，

∴令y=1，可得x=1，z=

因此是面PBC的一個法向量，

∵，PD與平面PBC所成角為30°，

∴，即，

解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的長為．