Question

已知函數f（x）=x³+bx²+cx+2．
（1）若f（x）在x=1時，有極值﹣1，求b、c的值；
（2）當b為非零實數時，f（x）是否存在與直線（b²﹣c）x+y+1=0平行的切線，如果存在，求出切線的方程，如果不存在，說明理由；
（3）設函數f（x）的導函數為f′（x），記函數|f′（x）|（﹣1≤x≤1）的最大值為M，求證：M≥ ．  

Answer 1

解：（1）求導函數，可得f′（x）=3x²+2bx+c
∵f（x）在x=1時，有極值﹣1，
∴f′（1）=0，f（1）=﹣1
∴3+2b+c=0，1+b+c+2=﹣1
∴b=1，c=﹣5； 
（2）假設f（x）圖象在x=t處的切線與直線（b²﹣c）x+y+1=0平行，
∵f′（t）=3t²+2bt+c，直線（b²﹣c）x+y+1=0的斜率為c﹣b²，
∴3t²+2bt+c=c﹣b²，
∴3t²+2bt+b=0
∴△=4b²﹣12b²=﹣8b²，
又∵b≠0，∴△＜0．
從而3t²+2bt+b²=0無解，
因此不存在t，使f′（t）=c﹣b²，
故f（x）圖象不存在與直線（b²﹣c）x+y+1=0平行的切線．
（3）∵|f'（x）|=|，
①若|﹣|＞1，即b＞3或b＜﹣3時，M應為f'（﹣1）與f'（1）中最大的一個，
∴2M≥|f'（﹣1）|+|f'（1）|≥|f'（﹣1）﹣f'（1）|≥|4b|＞12
∴M＞6＞
②若﹣3≤b≤0時，2M≥|f'（﹣1）|+|f'（﹣）|≥|f'（﹣1）﹣f'（﹣）|=|（b﹣3）²|≥3，
∴M≥
③若0＜b≤3時，2M≥|f'（1）|+|f'（﹣）|≥|f'（1）﹣f'（﹣）|=|（b+3）²|＞3，
∴M＞，M≥