Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2，其中a∈R，a＜0．
（1）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是減函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，5]上的最小值為f（5），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在（-∞，1）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，利用定義法得到f（x₁）-f（x₂）＞0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是減函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸是x=1-a，由f（x）在區(qū)間[1，5]上的最小值是f（5），得a≤-4，由此能求出a的取值范圍．

解答：（1）證明：在（-∞，1）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f(x1) -f(x2) =[x1 2+2(a-1) x1+2]-[x22+2(a-1)x2+2]
=（x₁-x₂）[x₁+x₂+2（a-1）]，
∵a＜0，
∴x₁＜x₂＜1＜1-a，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂+2（a-1）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是減函數(shù)．
（2）解：函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸是x=1-a，
∵f（x）在區(qū)間[1，5]上的最小值是f（5），
∴1-a≥5，得a≤-4，
∵a＜0，
∴a的取值范圍是a∈（-∞，-4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意定義法在證明函數(shù)單調(diào)性上的靈活運(yùn)用和拋物線對(duì)稱(chēng)軸及二次函數(shù)最小值的合理運(yùn)用．