Question

（文）已知函數f（x）=x³-3ax+b（a≠0）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，則雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率等于

 

．

Answer 1

分析：先求出函數的導數，依題意則有：f′（2）=0，且f（2）=8，從而求出a=4，b=24，根據雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的方程求得c=

592

，最后利用離心率公式即可求得雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率．

解答：解：f′（x）=3x²-3a．依題意則有：f′（2）=3×2²-3a=0，
且f（2）=2³-3a×2+b=8
∴a=4，b=24，
則雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的a=4，b=24，
∴c=

592

則雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率等于

c

a

=

592

4

=

37

故答案為：

37

．

點評：該題考查函數的求導、導數的幾何意義，以及雙曲線的簡單性質．