Question

△ABC中，已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=6：4：5，給出下列結論：
①這個三角形被唯一確定
②△ABC是鈍角三角形
③sinA：sinB：sinC=7：5：3
其中正確結論的序號是

②③

．

Answer 1

分析：由已知可設b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），然后分別求出a、b、c的值，即可求出它們的比值，結合正弦定理即可求出sinA：sinB：sinC，利用余弦定理求出角A的余弦值即可判定A為鈍角，根據面積公式即可求出三角形ABC的面積，再與題目進行比較即可．

解答：解：由已知可設b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），
則a=

7

2

k，b=

5

2

k，c=

3

2

k，∴a：b：c=7：5：3，
∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，∴③正確；
同時由于△ABC邊長不確定，故①錯；
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

( 5k 2 )2+( 3k 2 )2-( 7k 2 )2

2× 5k 2 × 3k 2

=-

1

2

，∴A=120°，故△ABC為鈍角三角形，故②正確．
故答案為 ②③．

點評：本題主要考查了正弦定理以及余弦定理的運用，利用三角形的面積公式求解面積，屬于中檔題．