Question

已知n²（n≥4且n∈N*）個正數排成一個n行n列的數陣：
其中a_i，k（i，k∈N*，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示該數陣中位于第i行第k列的數，已知該數陣中各行的數依次成等差數列，各列的數依次成公比為2的等比數列，已知a_2，3=8，a_3，4=20．
（1）求a_1，1a_2，2；
（2）設A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1求證：A_n+n能被3整除．

Answer 1

分析：（1）根據等比數列的通項公式求得a_1，3和a_1，4，進而可知第1行公差d，進而根據等差數列的通項公式求得
a_1，1a_1，2；進而利用a_2，2=2a_1，2=求得₁a_2，2，
（2）根據（1）可分別求得a_1，n一直到a_n-1，2，相加后利用錯位想減法求得A_n，進而求得A_n+n可知其能被3整除．

解答：解：（1）由題意，a_2，3=8，a_3，4=20，所以a_1，3=4，a_1，4=5，
故第1行公差d=1，
所以a_1，1=2，a_1，2=3，得a_2，2=2a_1，2=6．
（2）同（1）可得，a_1，n=n+1，
a_2，n-1=2n，
a_3，n-2=2²（n-1），
…
a_n-1，2=3×2^n-2，a_n，1=2×2^n-1
所以
A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1
=（n+1）+n×2¹+（n-1）×2²+（n-2）×2³++2×2^n-12A_n
2A_n=（n+1）×2¹+n×2²+（n-1）×2³++3×2^n-1+2×2ⁿ
兩式相減，得A_n=-（n+1）+2¹+2²+2³++2^n-1+2×2ⁿ
=-(n+1)+

2(1-2n-1)

1-2

+2×2n
=-（n+1）+2ⁿ-2+2×2ⁿ=3×2ⁿ-3-n
所以A_n+n=3×（2ⁿ-1），故A_n+n能被3整除．

點評：本題主要考查等比數列的性質．考查了學生綜合分析問題的能力．