Question

20、已知每項均是正整數的數列a₁，a₂，a₃，…a₁₀₀，其中等于i的項有k_i個（i=1，2，3…），設b_j=k₁+k₂+…k_j（j=1，2，3…），
g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m（m=1，2，3…）．
（Ⅰ）設數列k₁=40，k₂=30，k₃=20，k₄=10，k₅=…=k₁₀₀=0，求g（1），g（2），g（3），g（4）；
（II） 若 a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀中最大的項為50，比較g（m），g（m+1）的大小；
（Ⅲ）若a₁+a₂+…a₁₀₀=200，求函數g（m）的最小值．

Answer 1

分析：（I）因為數列k₁，k₂，k₃，k₄的值已知，所以b₁，b₂，b₃，b₄由公式b_j=k₁+k₂+…k_j（j=1，2，3…）求得，所以g（1），g（2），g（3），g（4）由公式g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m（m=1，2，3…）求得；
（II）由題意，g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m，g（m+1）=b₁+b₂+…b_m+b_m+1-100（m+1），作差比較，得g（m+1）-g（m）=b_m+1-100，由b_j的含義，知b_m+1≤100，故得g（m+1），g（m）的大小，又a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀中最大的項為50，知當m≥50時b_m=100，所以，當1＜m＜49時，有g（m）＞g（m+1）；當m≥49時，有g（m）=g（m+1）；
（III）可設{a₁，a₂，…a₁₀₀}中的最大值為M，則由（II）知，g（m）的最小值為g（M），計算出g（M）的值即為g（m）最小值．

解答：解：（I）因為數列k₁=40，k₂=30，k₃=20，k₄=10，所以b₁=40，b₂=70，b₃=90，b₄=100，
所以：g（1）=-60，g（2）=-90，g（3）=-100，g（4）=-100；
（II）一方面，g（m+1）-g（m）=b_m+1-100，根據b_j的含義，知b_m+1≤100，
故g（m+1）-g（m）≤0，即g（m）≥g（m+1），①
當且僅當b_m+1=100時取等號．
因為a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀中最大的項為50，所以當m≥50時必有b_m=100，
所以g（1）＞g（2）＞…＞g（49）=g（50）=g（51）=…
即當1＜m＜49時，有g（m）＞g（m+1）；當m≥49時，有g（m）=g（m+1）；
（III）設M為{a₁，a₂，…a₁₀₀}中的最大值．
由（II）可以知道，g（m）的最小值為g（M）．下面計算g（M）的值．
g（M）=b₁+b₂+b₃+…+b_M-100M
=（b₁-100）+（b₂-100）+（b₃-100）+…+（b_M-1-100）
=（-k₂-k₃-…-k_M）+（-k₃-k₄-…-k_M）+（-k₄-k₅…-k_M）+…+（-k_M）
=-[k₂+2k₃+…+（M-1）k_M]
=-（k₁+2k₂+3k₃+…+Mk_M）+（k₁+k₂+…+k_M）
=-（a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀）+b_M
=-（a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀）+100
∵a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=200，∴g（M）=-100，g（m）最小值為-100．

點評：本題考查了數列知識的綜合應用，解題時要認真審題，弄清題目中所給的條件是什么，細心解答，這樣才不會出現錯誤．