Question

（A）（不等式選做題）
若關于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在實數解，則實數a的取值范圍是________．
（B）（幾何證明選做題）
如圖，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC=4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長為________．
（C）（坐標系與參數方程選做題）
在已知極坐標系中，已知圓ρ=2cosθ與直線 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，則實數a=________．

Answer 1

（-∞，-3]∪[3，+∞）        2或-8
分析：（A）由題意可得，|x+1|+|x-2|的最小值等于3，|a|≥3，由此求得 a的值．
（B）根據半圓的三等分點，得到三個弧對應的角度是60°，根據直徑所對的圓周角是直角得到直角三角形的有關長度，做出要求的線段的長度．
（C）把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，根據直線和圓相切，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離等于半徑，從而求得a的值．
解答：（A）由于關于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在實數解，而|x+1|+|x-2|表示數軸上的x對應點到-1和2對應點的距離之和，其最小值等于3，
∴|a|≥3，解得 a≥3，或 a≤-3，
故答案為 （-∞，-3]∪[3，+∞）．
（B）∵A，E是半圓周上的兩個三等分點，∴弧EC是一個60°的弧，∴∠EBC=30°，則CE=2，連接BA，則BA=2，
∴在含有30°角的直角三角形中，BD=1，DT=，AD=，∴AF=，
故答案為 ．
（C）∵圓ρ=2cosθ 即ρ²=2ρcosθ，即（x-1）²+y²=1，表示以（1，0）為圓心，半徑等于1的圓．
直線 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 即3x+4y+a=0，直線和圓相切，∴=1，解得a=2或-8，
故答案為：2或-8．
點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，與圓有關的比例線段，考查圓周角定理，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系，
屬于中檔題．