Question

過正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線BD₁的平面與平面A₁B₁C₁D₁所成的二面角的正弦值的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：因為在正方體中，所以此題我們可以考慮兩種極端情況：
1、當過BD₁的平面為平面BB₁D₁D時，此時平面BB₁D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，則二面角為，所以正弦值為1；
2、當過BD₁的平面與面BB₁D₁D垂直時，二面角平面角最小，為∠BD₁B₁，所以正弦值為．
解答：解：如圖1所示：當過BD₁的平面為平面BB₁D₁D時，
∵平面BB₁D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴此時二面角最大，二面角為，
∴正弦值為1，即為最大值；
如圖2所示：當過BD₁的平面與面BB₁D₁D垂直時，二面角平面角最小，
∵平面A₁ACC₁⊥平面BB₁D₁D，
∴過BD₁的平面且與平面BB₁D₁D垂直的平面與平面A₁ACC₁平行，
∴所求二面角的平面角即可看成是平面A₁ACC₁與平面A₁B₁C₁D₁所成的二面角的平面角，
即∠MO₁B₁=∠BD₁B₁
∴tan∠BD₁B₁=tan∠MO₁B₁=，
∴正弦值為，即為最小值．
故答案為：[，1]

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．