Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為（0，

3

），F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，離心率e=

1

2

，過橢圓右焦點的直線l與橢圓C交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得以線段MN為直徑的圓過原點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若AB是橢圓C經過原點O的弦，MN∥AB，求證：

|AB|2

|MN|

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）橢圓的頂點為（0，

3

），即b=

3

，e=

c

a

=

1

2

，所以a=2，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設l的方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x=my+1 3x2+4y2-12=0

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，再由韋達定理和x₁x₂+y₁y₂=0，得-12m²-5=0這不可能，所以不存在存在直線l，使得以線段MN為直徑的圓過原點．
（Ⅲ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），由|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

12(k2+1)

3+4k2

．知

|AB|2

|MN|

=4為定值．

解答：解：（Ⅰ）橢圓的頂點為（0，

3

），即b=

3

，e=

c

a

=

1

2

，所以a=2，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）不存在．設l的方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由

x=my+1 3x2+4y2-12=0

得（3m²+4）y²+6my-9=0所以

y1+y2= -6m 3m2+4 y1y2= -9 3m2+4

因為x₁x₂+y₁y₂=0?（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=0
即(m2+1)

-9

3m2+4

+m

-6m

3m2+4

+1=0，-12m²-5=0這不可能，所以不存在
（Ⅲ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由（2）可得：|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

12(k2+1)

3+4k2

．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx

消去y，并整理得x²=

12

3+4k2

，
|AB|=

1+k2

|x₃-x₄|=4

3(1+k2)

3+4k2

，∴

|AB|2

|MN|

=4為定值．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．