Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3，a∈R
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對任意的t∈[1，2]，函數g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]在區間（t，3）上總不是單調函數，求m取值范圍；
（Ⅱ）求證：

ln2

2

•

ln3

3

•

ln4

4

•…•

lnn

n

＜

1

n

，(n∈N，n≥2)．

Answer 1

分析：（I）根據點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數可知：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，于是可求m的范圍．
（II）是近年來高考考查的熱點問題，即與函數結合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結論構造函數，利用函數的單調性，對于函數取單調區間上的正整數自變量n有某些結論成立，進而解答出這類不等式問題的解．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0）（2分）
f′（2）=-

a

2

=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=-2
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

（8分）
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴-

37

3

＜m＜-9（10分）
（II）令a=-1此時f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上單調遞增，
∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n-1，
∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，
∴

ln2

2

•

ln3

3

•

ln4

4

…

lnn

n

＜

1

2

•

2

3

•

3

4

••

n-1

n

=

1

n

（n≥2，n∈N*）．

點評：本題考查利用函數的導數來求函數的單調區間，已知函數曲線上一點求曲線的切線方程即對函數導數的幾何意義的考查，考查求導公式的掌握情況．含參數的數學問題的處理，構造函數求解證明不等式問題．