Question

某公司近年來科研費用支出x萬元與公司所獲得利潤y萬元之間有如下的統計數據：

x	2	3	4	5
y	18	27	32	35

（1）請畫出上表數據的散點圖；
（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x．的線性回歸方程

y

=

b

x+

a

；
（3）試根據（2）求出的線性回歸方程，預測該公司科研費用支出為10萬元時公司所獲得的利潤．

Answer 1

分析：（1）先做出平面直角坐標系，把表格中包含的四對點的坐標對應的畫到坐標系中，做出散點圖．
（2）根據表中所給的數據，做出利用最小二乘法所用的四個量，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，寫出線性回歸方程．
（3）把所給的x的值，代入上一問求出的線性回歸方程中，做出對應的y的值，這是一個估計值，是一個預報值．

解答：解：（1）畫出散點圖如圖（略）：…..（3分）
（2）

.

x

=

2+3+4+5

4

=3.5，

.

y

=

18+27+32+35

4

=28，

4

i=1

xiyi=2×18+3×27+4×32+5×32=420，

4

i=1

x

2 i

=54，（5分）
∴

b

=

4 i=1 xiyi-4 . x . y

4 i=1 x 2 i -4 . x 2

=5.6…..…（9分）

a

=

.

y

-

b

•

.

x

=28-5.6×3.5=8.4，
∴線性回歸方程

y

=5.6x+8.4．
（3）當x=10時，

y

=5.6×10+8.4=64.4（萬元）．
故預測該公司科研費用支出為10萬元時公司所獲得的利潤為64.4萬元…（12分）

點評：本題考查線性回歸方程的求法和應用，解題的關鍵是細心地做出線性回歸方程要用的系數，這里不能出錯，不然會引起第三問也是錯誤的．