Question

在平面內，設到定點F(0，2)和x軸距離之和為A的點P軌跡為曲線C，直線l過點F，交曲線C于M，N兩點．
(Ⅰ)說明曲線C的形狀，并畫出圖形；
(Ⅱ)求線段MN長度的范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)設動點P(x，y)，由已知得：，
當y≥0時，，化簡，得；
當y≤0時，，化簡，得x²=12(y+l)，
∴如圖：曲線C是焦點在F(0，2)，準線分別為y=-4和y=4，頂點分別是（0，-1）和(0，3)的兩條拋物線一部分組成的封閉圖形ABCD，

 (Ⅱ)當M，N在兩支拋物線上時，過M，N分別作相應準線的垂線，垂足分別是M₁，N₁，
由拋物線定義，MM₁=MF；NN₁=NF，
設M，N的縱坐標分別為y₁，y₂，|MN|=8-(|y₁|+|y₂|)，
當l過BD時， |MN|最小，最小值為4，
當l過C（或A）時，|MN|最大，
此時直線l的方程為-x+y=2和拋物線x²=-4（y-3），
另一交點，|MN|最大值為，|MN|范圍是，
當M．N都在上支拋物線上時，易求|MN|范圍也是；
∴綜上所述，|MN|范圍是。