Question

已知定點F（0，1）和直線l₁：y=-1，過定點F與直線l₁相切的動圓圓心為點C．
（1）求動點C的軌跡方程；
（2）若A，B是所求軌跡上的兩個點，滿足OA⊥OB（0為坐標原點），求證：直線AB經過一個定點．
（3）過點F的直線l₂交軌跡于兩點P、Q，交直線l₁于點R，求•的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點C到點F的距離等于它到l₁的距離，依據拋物線的定義可知點C的軌跡是以F為焦點，l₁為準線的拋物線，進而求得其軌跡方程；
（2）設直線AB的方程為y=kx+b代入拋物線方程，利用OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，即可得到結論；
（3）設出直線l₂的方程與拋物線方程聯立消去y，設出P，Q的坐標，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而可得點R的坐標，表示出•，根據均值不等式求得其最小值．
解答：（1）解：由題設點C到點F的距離等于它到l₁的距離，
∴點C的軌跡是以F為焦點，l₁為準線的拋物線．
∴所求軌跡的方程為x²=4y．
（2）證明：由已知，設直線AB的方程為y=kx+b代入拋物線方程x²=4y，并整理得x²-4kx-4b=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
因為OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，即b²-4b=0，解得，b=4或b=0（舍去），
所以直線AB過定點（0，4）．
（3）解：由題意直線l₂的方程為y=kx+1，與拋物線方程聯立消去y，得x²-4kx-4=0．
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∵直線PQ的斜率k≠0，易得點R的坐標為（-，-1），
•=（x₁+）（x₂+）+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+（+2k）（x₁+x₂）++4
=-4（1+k²）+4k（+2k）++4=4（k²+）+8，
∵k²+≥2，當且僅當k²=1時取到等號．
∴•≥4×2+8=16，即•的最小值為16．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系，考查拋物線方程的求解，考查向量知識的運用，屬于中檔題．