Question

求滿足C_n⁰+C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ＜500的最大整數n．

Answer 1

解：r•C_n^r=n•C_n-1^r-1
∴C_n¹+2C_n²++C_n³++nC_nⁿ
=n（C_n-1⁰+C_n-1¹++C_n-1^n-1）
=n•2^n-1
∴C_n⁰+C_n¹+2C_n²+3C_n³++n•C_nⁿ
=n•2^n-1+1
原不等式化為n•2^n-1＜499
∵2⁷=128，∴n=8時，8•2⁷=2¹⁰=1024＞500．
當n=7時，7•2⁶=7×64=448＜449．
故所求的最大整數為n=7．
分析：利用r•C_n^r=n•C_n-1^r-1，把C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ化簡，不等式左邊化為n•2^n-1+1，化簡499為7•2⁶，求出n的值．
點評：本題考查組合及組合數公式，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．