Question

 （本題滿分12分）

設函數,曲線在點處的切線方程為.

(1)求的解析式;(2)證明:曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.

 

Answer 1

【答案】

(1). (2)曲線上任一點處的切線與直線,

所圍成的三角形的面積為定值

 

【解析】本試題主要是考查了導數的幾何意義的運用，求解切線方程，以及運用三角形的面積公式求解面積的綜合運用。

（1）根據曲線在點處的切線方程為，說明在x=2處的導數值為7/4,然后利用求導，代值得到結論。

（2）利用切線方程分別得到與x,y軸交點的坐標，然后，運用坐標表示長度得到三角形的面積

解:(1)方程可化為.

當時,. 又,

于是解得 ,故.

(2)設為曲線上任一點,由知曲線在點處的切線方程為

,即.

令得,從而得切線與直線的交點坐標為.

令得,從而得切線與直線的交點坐標為.

所以點處的切線與直線,所圍成的三角形面積

為.故曲線上任一點處的切線與直線,

所圍成的三角形的面積為定值