Question

已知中心在原點，其中一個焦點為F（-1，0）的橢圓經過點，橢圓的右頂點為A，經過點F的直線l與橢圓交于兩點B，C．
（1）求橢圓的方程；
（2）若△ABC的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設橢圓的標準方程，再根據題中條件列出關于a，b的方程組，通過解方程組即可求得a，b的值即可；
（2）先對直線l的斜率進行討論，若直線l⊥x軸，則l的方程為：x=-1，不合；若直線l不與x軸垂直，
可設l的方程為：y=k（x+1）．將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式），最后求出三角形的面積，從而解決問題．
解答：解：（1）設橢圓的方程為：（1分）
由題設知，解得：（5分）
因此，橢圓的方程為：（6分）

（2）若直線l⊥x軸，則l的方程為：x=-1，
此時B、C的坐標為、
由于點A的坐標為（2，0），則△ABC的面積為不合題意，舍去：（7分）
若直線l不與x軸垂直，可設l的方程為：y=k（x+1）．
則直線與橢圓恒有兩交點．
由，得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0（8分）
記B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），則有，（9分）
由于
點A到直線l的距離為，（11分）
將上面兩式代入△ABC的面積公式可得：
，（12分）
整理得：17k⁴+k²-18=0（13分）
解得：（舍去），k²=1故k=±1，
從而，直線l的方程為：y=±（x+1）．（14分）
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、點到直線的距離、橢圓方程等基礎知識，考查運算求解能力、方程思想．涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）．屬于中檔題．