Question

 

（本題滿分15分）已知數列中，，（n∈N*），

   （1）試證數列是等比數列，并求數列{}的通項公式；

   （2）在數列{}中，求出所有連續(xù)三項成等差數列的項；

   （3）在數列{}中，是否存在滿足條件1＜r＜s的正整數r ，s ，使得b₁，b_r，b_s成等差數列？若存在，確定正整數r，s之間的關系；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）有且僅有連續(xù)三項b₂，b₃，b₄成等差數列

（3）存在不小于4的正偶數s，且s＝r＋1，使得b₁，b_r，b_s成等差數列

【解析】    解：（1）證明: 由，得a_n＋1＝2ⁿ—a_n，

    ∴,

    ∴數列是首項為,公比為的等比數列．………………3分

    ∴ , 即，

    ∴…………………………………………………………………………5分

   （2）解：假設在數列{b_n}中，存在連續(xù)三項b_k－1，b_k，b_k＋1（k∈N*, k≥2）成等差數列，則b_k－1＋b_k＋1＝2b_k，即，

    即＝4………………………………………………………………7分

    若k為偶數，則＞0，4＝－4＜0，所以，不存在偶數k，使得

    b_k－1，b_k，b_k＋1成等差數列�！�………………………………………………………8分

    若k為奇數，則k≥3，∴≥4，而4＝4，所以，當且僅當k＝3時，

    b_k－1，b_k，b_k＋1成等差數列。

    綜上所述，在數列{b_n}中，有且僅有連續(xù)三項b₂，b₃，b₄成等差數列�！�………10分

   （3）要使b₁，b_r，b_s成等差數列，只需b₁＋b_s＝2 b_r，

    即3＋＝2[],即， ①

   （�。┤�s＝r＋1，在①式中，左端＝0，右端＝，要使①式成立，當且僅當s為偶數時成立。又s＞r＞1，且s，r為正整數，所以，當s為不小于4的正偶數，且s＝r＋1時，b₁，b_r，b_s成等差數列�！�…………………………………………………………13分

   （ⅱ）若s≥r＋2時，在①式中，左端≥＝＞0，右端≤0，∴當s≥r＋2時，b₁，b_r，b_s不成等差數列。

    綜上所述，存在不小于4的正偶數s，且s＝r＋1，使得b₁，b_r，b_s成等差數列�！�15分