Question

已知函數f（x）=x³+ax²-2x+5．
（Ⅰ）若f（x）在區間（-

2

3

，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增，求實數a的值；
（Ⅱ）求正整數a，使得f（x）在區間（-3，

1

6

）上為單調函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，根據函數f（x）在（-

2

3

，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，可得x=1是方程f′（x）=0的根，從而可求實數a的值；
（Ⅱ）使得f（x）在區間（-3，

1

6

）上為單調函數，只需f′（-3）≤0，且f′（

1

6

）≤0，結合a是正整數，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2ax-2
由函數f（x）=x³+ax²-2x+5在區間（-

2

3

，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增
可得f′（1）=0即2a+1=0
∴a=-

1

2

；
（Ⅱ）令f′（x）=3x²+2ax-2=0，可得x1=

-a- a2+6

3

，x2=

-a+ a2+6

3

．
當a是正整數時，x₁＜0＜x₂．
使得f（x）在區間（-3，

1

6

）上為單調函數，只需f′（-3）≤0，且f′（

1

6

）≤0，
即25-6a≤0，且

1

3

a-

23

12

≤0，所以

25

6

≤a≤

23

4

由已知a為正整數，得a=5．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．