Question

已知等比數列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₄+a₆=

5

4

（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：

lgan+1+lgan+2+…+lga2n

n2

＞-

3

2

lg2．

Answer 1

分析：（1）先設公比為q，用a₄+a₆除以a₁+a₃正好等于q³進而求得q，進一步求得其首項，從而得到數列{a_n}的通項公式；
（2）利用（1）中數列{a_n}的通項公式，化簡左邊得

lgan+1+lgan+2+…+lga2n

n2

=

lgan+1an+2…a2n

n2

=

lg2 n(7-3n) 2

n2

，再利用放縮法可證．

解答：解：（1）依題意，設公比為q，由于a₁+a₃=10，a₄+a₆=

5

4

，
所以q³=

a4+a6

a1+a3

，∴q=

1

2

，∴a₁=8，
∴a_n=2^4-n；
（2）

lgan+1+lgan+2+…+lga2n

n2

=

lgan+1an+2…a2n

n2

=

lg2 n(7-3n) 2

n2

＞

n(7-3n) 2

n2

＞

7n

2

-

3

2

＞-

3

2

點評：本題主要考查求解數列{a_n}的通項公式，考查對數運算，同時借助于放縮法進行證明不等式，有一定的綜合性．