Question

設動點P到點F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離分別為d₁和d₂，∠F₁PF₂=2θ，且存在常數λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ．
（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）如圖，過點F₂的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點．問：是否存在λ，使△F₁AB是以點B為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）在△PF₁F₂中，利用余弦定理得出d₁-d₂是一個常數，從而動點P的軌跡C是以F₁，F₂為焦點的雙曲線，最后求出雙曲線的方程即可；
（2）在△AF₁B中，設|AF₁|=d₁，|AF₂|=d₂，|BF₁|=d₃，|BF₂|=d₄．對于存在性問題，可先假設存在，即假設△AF₁B為等腰直角三角形，再利用方程組，求出λ的值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）在△PF₁F₂中，
|F₁F₂|=24=d₁²+d₂²-2d₁d₂cos2θ=（d₁-d₂）²+4d₁d₂sin²θ
（d₁-d₂）²=4-4λ
∴|d1-d2|=2

1-λ

（小于2的常數）
故動點P的軌跡C是以F₁，F₂為焦點，實軸長2a=2

1-λ

的雙曲線．
方程為

x2

1-λ

-

y2

λ

=1．
（2）在△AF₁B中，設|AF₁|=d₁，|AF₂|=d₂，|BF₁|=d₃，|BF₂|=d₄．
假設△AF₁B為等腰直角三角形，則

d1-d2=2a① d3-d4=2a② d3=d4+d2③ d1= 2 d3④ d3d4sin2 π 4 =λ⑤

由②與③得d₂=2a，
則

d1=4a d3=2 2 a d4=d3-2a=2( 2 -1)a

由⑤得d₃d₄=2λ，4

2

(

2

-1)a2=2λ，(8-4

2

)(1-λ)=2λ，λ=

12-2 2

17

∈(0，1)
故存在λ=

12-2 2

17

滿足題設條件．

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、直線的方程、雙曲線方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．