Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線l，交拋物線于A，B兩點，交其準線于C點，若|CB|=2|BF|，且AF=3，則拋物線的方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：由于直線l的斜率未定，故可分直線的傾斜角為銳角或為鈍角兩種情況研究，作出圖象，根據圖象中的比例關系即可求出P值，得到拋物線的方程
解答：
解：如圖左，過A作AA'垂直準線于A'，BB'垂直準線于B'，準線與X軸的交點記為F'
由|CB|=2|BF|知，F為BC的中點，故FF'=BB'=BF=BC，
又△AA'C∽△CBB'，故有AA'：BB'=AC：BC*
由拋物線的性質知AA'=AF，BB'=BF，故*式可變為3：BF=（BF-3）：2BF
解得BF=9，即FF'=，即p=，
所以拋物線的方程是y²=9x
若情形為如圖右，同理可解得即p=，
所以拋物線的方程是y²=3x
答案為：y²=3x或y²=9x
點評：本題主要考查拋物線的簡單性質和拋物線標準方程的求法．考查基礎知識的靈活運用．