Question

設P：指數函數f（x）=a^x，不等式f（x）＞1的解集是{x|x＜0}，Q：函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R，若P∧Q為假，P∨Q為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：∵P中，指數函數f（x）=a^x，不等式f（x）＞1的解集是{x|x＜0}，
由指數函數的性質可得P={a|0＜a＜}
又∵Q中，函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R，即ax²-x+a＞0恒成立
則
解得Q={a|a＞}
又∵P∧Q為假，P∨Q為真，
∴P與Q必定一真一假
（1）當P真Q假時，0＜a≤
（2）當P假Q真時，a≥1
綜上所述實數a的取值范圍為（0，]∪[1，+∞）
分析：根據指數函數的性質，我們可以求出滿足條件P的參數a的取值范圍，根據對數函數的定義域，及二次函數恒成立問題，我們可以求出滿足條件Q的參數a的取值范圍，又由P∧Q為假，P∨Q為真，可得P與Q必定一真一假，分類討論后，即可得到實數a的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，熟練掌握指數函數的性質，對數函數的性質及二次函數的性質，是解答本題的關鍵．