Question

設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g(-

1

2

)=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是=

(-∞，-

1

2

)∪(0，

1

2

)

．

Answer 1

分析：先根據f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可確定[f（x）g（x）]'＞0，進而可得到f（x）g（x）在x＜0時遞增，結合函數f（x）與g（x）的奇偶性可確定f（x）g（x）在x＞0時也是增函數，最后根據g（-

1

2

）=0可求得答案．

解答：解：因 f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0
故f（x）g（x）在x＜0時遞增，
又∵f（x），g（x）分別是定義R上的奇函數和偶函數，
∴f（x）g（x）為奇函數，關于原點對稱，所以f（x）g（x）在x＞0時也是增函數．
∵f（-

1

2

）g（-

1

2

）=0，∴f（

1

2

）g（

1

2

）=0
所以f（x）g（x）＜0的解集為：x＜-

1

2

或0＜x＜

1

2

故答案為：（-∞，-

1

2

）∪（0，

1

2

）．

點評：本題主要考查復合函數的求導運算和函數的單調性與其導函數正負之間的關系．導數是一個新內容，也是高考的熱點問題，要多注意復習．