Question

已知可導函數(shù)y=f（x）滿足f（x-2）=f（-x），函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1，則f′（1）=______，函數(shù)y=f（x）的圖象在點（-3，f（-3））處的切線方程為______．

Answer 1

∵導數(shù)的幾何意義是切線的斜率，
∴f′（1）就是函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線的斜率，故f′（1）=2
∵f（x-2）=f（-x），
∴f（-3）=f（-1-2）=f[-（-1）]=f（1）
又函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1
∴點（1，f（1））滿足切線方程，即f（1）=2×1+1=3
故f（-3）=f（1）=3
然后只要解出f′（-3）就行了．
對f（x-2）=f（-x）的等號兩邊同時求導得：f′（x-2）×（x-2）′=f′（-x）×（-x）′
即f′（x-2）=-f′（-x）
∴f′（-3）=f′（-1-2）=-f′[-（-1）]=-f′（1）=-2
∴切線方程為y-f（-3）=f′（-3）（x-（-3）），即y-3=-2（x+3）
化為斜截式得：y=-2x-3
故答案為：2，y=-2x-3．