Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為BD₁的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，P為BB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BD₁⊥平面MNP；
（2）求異面直線B₁O與C₁M所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接BC₁，欲證BD₁⊥平面MNP，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD₁與平面MNP內(nèi)兩相交直線垂直，而BD₁⊥PM，而BD₁⊥MN，MN∩PM=M，滿足定理?xiàng)l件；
（2）延長CB到Q，使BQ=BM，連接B₁Q，OQ，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠OB₁Q是異面直線B₁O與C₁M所成的角，在三角形OB₁Q中利用余弦定理進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）連接BC₁
由正方體的性質(zhì)得BC₁是BD₁在
平面BCC₁B₁內(nèi)的射影（3分）且B₁C⊥BC₁，
所以BD₁⊥B₁C（5分）
B₁C∥PM，則BD₁⊥PM，而BD₁⊥MN
又MN∩PM=M，∴BD₁⊥平面MNP．
（2）延長CB到Q，使BQ=BM，連接B₁Q，OQ
則QM∥C₁B₁，且QM=C₁B₁．
∴B₁Q∥C₁M．
∴∠OB₁Q是異面直線B₁O與C₁M所成的角．（12分）
由于正方體的棱長為2，
則B₁O=

3

，B₁Q=

B1B2+BQ2

=

5

設(shè)底面ABCD的中點(diǎn)為O₁，
可求得OQ=

OO 2 1 +O1Q2

=

6

cos∠OB₁Q=

( 3 )2+( 5 )2-( 6 )2

2× 3 × 5

=

15

15

即異面直線B₁O與C₁M所成角的大小為arccos

15

15

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及異面直線所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．