Question

（本小題滿分13分）
已知R，函數．
（1）求的單調區間；
（2）證明：當時，．

Answer 1

（1）當時，恒成立，此時的單調區間為 
當時，，此時的單調遞增區間為和，
單調遞減區間為
（2）構造函數，利用放縮法的思想來求證不等式的成立。

試題分析：解：（1）由題意得 ………2分
當時，恒成立，此時的單調區間為 ……4分
當時，，
此時的單調遞增區間為和，
單調遞減區間為 ……………6分
(2)證明：由于，所以當時，
 …………8分
當時，……10分
設，則，
于是隨的變化情況如下表：

	0				1
			0
	1	減	極小值	增	1

所以， …………12分
所以，當時，，
故 …………13分
（2）另解：由于，所以當時，．
令，則．
當時，在上遞增， ………8分
當時，，在上遞減，在上遞增，所以．
故當時， ………10分
當時，．
設，則，
③當時，在上遞減， ……11分
④當時，在上遞減，在上遞增，所以
．
故當時，．
故 …………13分
點評：對于含有參數的函數的單調區間的求解，這一點是高考的重點，同時對于參數的分類討論思想，這是解決這類問題的難點，而分類的標準一般要考慮到函數的定義域對于參數的制約，進而分析得到。而不等式的恒成立問題，常常轉化為分離參數 思想，求解函數的最值來完成。屬于難度題。