Question

如圖（1），C是直徑AB=2的⊙O上一點，AD為⊙O的切線，A為切點，△ACD為等邊三角形，連接DO交AC于E，以AC為折痕將△ACD翻折到圖（2）的△ACP位置，點P為平面ABC外的點．
（1）求證異面直線AC和PO互相垂直；
（2）若F為PC上一點，且PF=2FC，PO=，求三棱錐P-AOF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，△ACD為等邊三角形，AD為⊙O的切線，A為切點，我們易結合線面垂直的判定定理，得到翻折后AC⊥平面PEO，進而根據線面垂直的性質得到異面直線AC和PO互相垂直；
（2）由已知中，△ACD為等邊三角形，C是直徑AB=2的⊙O上一點，F為PC上一點，且PF=2FC，PO=，根據勾股定理，我們可得OP⊥OA，OP⊥OC，進而根據線面垂直的判定定理得到：OP⊥平面⊙O，求出三棱錐P-ABC的體積后，進一步得到三棱錐P-AOF的體積．
解答：證明：（1）等邊三角形△ACD中AD=DC，AD為⊙O的切線，A為切點，
∴DO⊥AC且E為AC中點    （2分）
以AC為折痕將△ACD翻折到圖（2）的△ACP位置時，
仍有PE⊥AC，OE⊥AC
∴AC⊥平面PEO  （4分）
∴AC⊥PO        （5分）
解：（2）∵PO=，圖（1）中∠DAC=60°，AB=2為⊙O的直徑，AD為⊙O的切線，A為切點，
∴Rt△ACB中，AC=AD=DC=AP=PC=，BC=1
∵OA=OB=OC=BC=1    
∴OA²+OP²=AP²，OC²+OP²=PC²    （8分）
∴OP⊥OA，OP⊥OC
∴OP⊥平面⊙O    （10分）
∴三棱錐P-ABC的體積
V_P-ABC=•AB•BC•OP=   （12分）
∵F為PC上一點，且PF=2FC，
∴三棱錐P-AOF的體積
V_P-AOF=V_P-ABC= （14分）
點評：本題考查的知識點是棱錐的體積及空間中直線與直線之間的位置關系，熟練掌握空間直線、平面之間平行及垂直的判定、性質是解答本題的關鍵．