Question

18、已知函數f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0），函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）用關于m的代數式表示n．
（2）求函數f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，又根據f'（2）=0可得到關于m的代數式．
（2）將（1）中m的代數式n代入函數f（x）中消去n，可得f'（x）=3mx²-6mx，當f'（x）＞0時x的取值區間為所求．

解答：解：（Ⅰ）由已知條件得f'（x）=3mx²+2nx，
又f'（2）=0，∴3m+n=0，故n=-3m．
（Ⅱ）∵n=-3m，∴f（x）=mx³-3mx²，∴f'（x）=3mx²-6mx．
令f'（x）＞0，即3mx²-6mx＞0，
當m＞0時，解得x＜0或x＞2，則函數f（x）的單調增區間是（-∞，0）和（2，+∞）；
當m＜0時，解得0＜x＜2，則函數f（x）的單調增區間是（0，2）．
綜上，當m＞0時，函數f（x）的單調增區間是（-∞，0）和（2，+∞）；
當m＜0時，函數f（x）的單調增區間是（0，2）．

點評：本題主要考查通過求函數的導數來求函數增減區間的問題．